Materia de estudio
Resumen del tema con citas literales de la normativa oficial. Lee los apuntes y luego pon a prueba lo que has aprendido en el test.
Este tema forma parte del bloque de matemáticas del proceso selectivo de Tropa y Marinería de las Fuerzas Armadas, cuya evaluación se rige por la Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre. El dominio de la geometría plana y espacial es imprescindible para superar las pruebas de conocimientos generales, ya que los ejercicios tipo test sobre perímetros, áreas, volúmenes y trigonometría básica son recurrentes en cada convocatoria.
Marco normativo
La Orden DEF/1756/2016, de 28 de octubre, publicada en el BOE, aprueba las normas de evaluación de la enseñanza de formación militar de Tropa y Marinería. Esta norma establece el marco general de las pruebas selectivas, incluyendo los contenidos matemáticos que el aspirante debe acreditar. La geometría figura como materia exigible dentro del bloque de cultura general y razonamiento matemático.
Figuras planas: definición y clasificación
Una figura plana es toda forma geométrica contenida en un plano, sin volumen. Se clasifican en:
- Polígonos: figuras cerradas formadas por segmentos rectos.
- Triángulos (3 lados)
- Cuadriláteros (4 lados): cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio
- Pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc.
- Figuras curvas: circunferencia y círculo.
Triángulos: tipos
Por sus lados:
- Equilátero: tres lados iguales
- Isósceles: dos lados iguales
- Escaleno: tres lados distintos
Por sus ángulos:
- Rectángulo: un ángulo de 90°
- Acutángulo: los tres ángulos menores de 90°
- Obtusángulo: un ángulo mayor de 90°
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180°.
Perímetros y áreas de figuras planas
Perímetros
El perímetro es la longitud total del contorno de una figura.
- Cuadrado: P = 4 · l
- Rectángulo: P = 2 · (a + b)
- Triángulo: P = a + b + c (suma de sus tres lados)
- Circunferencia (longitud): L = 2 · π · r
Áreas
El área es la superficie encerrada por la figura.
- Cuadrado: A = l²
- Rectángulo: A = base · altura
- Triángulo: A = (base · altura) / 2
- Rombo: A = (D · d) / 2 (D = diagonal mayor; d = diagonal menor)
- Trapecio: A = ((B + b) · h) / 2 (B = base mayor; b = base menor; h = altura)
- Círculo: A = π · r²
Dato clave: π ≈ 3,1416. En los test suele usarse π ≈ 3,14 salvo que se indique otra aproximación.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
c² = a² + b²
Donde:
- c = hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor)
- a y b = catetos
Ternas pitagóricas más frecuentes en examen
- 3 – 4 – 5
- 5 – 12 – 13
- 6 – 8 – 10 (múltiplo de la anterior)
- 8 – 15 – 17
Aplicación práctica
Si un cateto mide 6 m y el otro 8 m, la hipotenusa es: c² = 36 + 64 = 100 → c = 10 m
Trigonometría básica
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas fundamentales
Para un ángulo α en un triángulo rectángulo:
- Seno: sen(α) = cateto opuesto / hipotenusa
- Coseno: cos(α) = cateto adyacente / hipotenusa
- Tangente: tg(α) = cateto opuesto / cateto adyacente
Relación derivada: tg(α) = sen(α) / cos(α)
Valores exactos que se preguntan en test
- sen(30°) = 0,5 — cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866 — tg(30°) = √3/3 ≈ 0,577
- sen(45°) = cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707 — tg(45°) = 1
- sen(60°) = √3/2 ≈ 0,866 — cos(60°) = 0,5 — tg(60°) = √3 ≈ 1,732
- sen(90°) = 1 — cos(90°) = 0
- sen(0°) = 0 — cos(0°) = 1
Identidad trigonométrica fundamental
sen²(α) + cos²(α) = 1
Esta identidad aparece con frecuencia en preguntas de razonamiento matemático.
Volúmenes de cuerpos geométricos
Un cuerpo geométrico es una figura tridimensional. Los más exigidos en las pruebas son:
Prismas y paralelepípedos
- Cubo: V = l³ — Superficie total = 6 · l²
- Paralelepípedo (caja rectangular): V = largo · ancho · alto
Cilindro
- V = π · r² · h
- Superficie lateral = 2 · π · r · h
- Superficie total = 2 · π · r · (r + h)
Cono
- V = (1/3) · π · r² · h
- La generatriz (g) se calcula con Pitágoras: g² = r² + h²
Esfera
- V = (4/3) · π · r³
- Superficie = 4 · π · r²
Pirámide
- V = (1/3) · A_base · h
- La base puede ser cualquier polígono; el área de la base se calcula según su forma.
Datos numéricos y plazos que más se preguntan
- Suma de ángulos interiores de un triángulo: 180°
- Suma de ángulos interiores de un cuadrilátero: 360°
- Fórmula general de la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados: (n − 2) · 180°
- Número de diagonales de un polígono de n lados: n · (n − 3) / 2
- Valor de π en cálculos: 3,1416 (o 3,14 si el enunciado lo indica)
- El volumen del cono y de la pirámide llevan siempre el factor 1/3
- La hipotenusa es siempre el lado mayor en un triángulo rectángulo
Errores típicos del opositor
- Confundir radio con diámetro: el radio es la mitad del diámetro. Si el enunciado da el diámetro, hay que dividir entre 2 antes de aplicar cualquier fórmula.
- Olvidar el factor 1/3 en el volumen del cono y la pirámide.
- Aplicar el Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos: solo es válido cuando hay un ángulo de 90°.
- Confundir área lateral con área total en cilindros y conos: el área total incluye las bases.
- Invertir seno y coseno: el seno corresponde al cateto opuesto; el coseno, al adyacente.
- Usar el diámetro en lugar del radio en la fórmula del área del círculo (A = π · r², no π · d²).
- No elevar al cuadrado en la fórmula del cubo de la esfera: V = (4/3) · π · r³ (exponente 3, no 2).
Trucos mnemotécnicos
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SOH-CAH-TOA (del inglés, ampliamente usado en España):
- Seno = Opuesto / Hipotenusa
- Coseno = Adyacente / Hipotenusa
- Tangente = Opuesto / Adyacente
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Para recordar que el cono y la pirámide llevan 1/3: “los cuerpos con punta pierden dos tercios”.
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Terna 3-4-5: es la más pequeña. Cualquier múltiplo entero (6-8-10, 9-12-15…) también es pitagórica.
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Para la fórmula del trapecio: “suma de bases partido por dos, por la altura” — es la media aritmética de las bases multiplicada por la altura.
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sen(30°) = 0,5 es el único valor exacto y entero (en forma de fracción simple) de las razones trigonométricas básicas. Sirve de ancla para recordar el resto de la tabla.